Đáp án D

Chọn D
\(x\sin x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( { - x} \right)\) \( \Rightarrow \,\,\,f\left( { - x} \right) = \left( {x\sin x} \right)' = \sin x + x\cos x\)
\( \Rightarrow \,\,\,f(x) = - \sin x - x\cos x\)
\( \Rightarrow \,\,\,f'(x) = - 2\cos x + x\sin x\)
\( \Rightarrow \,\,\,f'\left( {\pi - x} \right) = 2\cos x + \left( {\pi - x} \right)\sin x\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) + f'\left( {\pi - x} \right) = 2\pi \sin x\)
Khi đó
\(F(x) = \int {\left[ {f'(x) + f'(\pi - x)} \right]\cos x\,} {\rm{d}}x = \pi \int {2\sin x.\cos x} \,{\rm{d}}x = \pi \int {\sin \,2x\,{\rm{d}}x = - \dfrac{\pi }{2}\cos 2x + C} \)
Từ \(F(0) = 0 \Rightarrow \,\,\,C = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \,\,\,F(x) = - \dfrac{\pi }{2}\cos 2x + \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \,\,\,F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{2}\).