Câu 1. Cho hình chóp $SABC$ có $SC \bot \left( {ABC} \right)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $AB = a$ ; $AC = a\s?
Câu 1. Cho hình chóp \(SABC\) có \(SC \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Biết \(AB = a\) ; \(AC = a\sqrt 3 \) và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) , \(\left( {SAC} \right)\) bằng \(\alpha \) với \(\cos \alpha = \sqrt {\dfrac{6}{{19}}} \). Tính độ dài
\(SC\) theo \(a\).
A. \(a\sqrt 7 \).
B. \(a\sqrt 6 \).
C. \(6a\).
D. \(7a\).
Đáp án C
Chọn CKẻ \(BH \bot AC\,\,\,\left( {H \in AC} \right)\) , \(BI \bot SA\,\,\,\left( {I \in SA} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BH \bot SA\) , mà \(SA \bot BI\) nên \(SA \bot \left( {BHI} \right) \Rightarrow SA \bot HI\).
Từ \(\left\{ \begin{array}{l}BI \bot SA\\HI \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {SAB} \right)\,,\,\left( {SAC} \right)} = \widehat {BIH}\).
Theo đề
\(\cos \alpha = \sqrt {\dfrac{6}{{19}}} \Rightarrow \cos \widehat {BIH} = \sqrt {\dfrac{6}{{19}}} \Rightarrow \tan \widehat {BIH} = \sqrt {\dfrac{{13}}{6}} \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{HI}} = \sqrt {\dfrac{{13}}{6}}.\)
Trong tam giác vuông \(ABC\) , ta có: \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \) và \(BH = \dfrac{{AB.BC}}{{AC}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Do đó \(HI = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {13} }}\). Trong tam giác \(ABH\) ta có \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow AI = \dfrac{a}{{\sqrt {39} }}\).
Vì \(\Delta AHI\,\,\backsim \,\Delta ASC\Rightarrow \dfrac{HI}{SC}=\dfrac{AI}{AC}\Leftrightarrow SC=\dfrac{HI.AC}{AI}=6a\,.\)