Giả sử đa giác là .
Chọn ngẫu nhiên đỉnh từ các đỉnh của , số tứ giác được tạo thành là .
Xét các trường hợp:
+ TH1: Số tứ giác có 3 cạnh là cạnh của đa giác : Có tứ giác
+ TH2: Số tứ giác có cạnh là cạnh của đa giác .
Tứ giác có cạnh là 2 cạnh kề nhau của đa giác :
Có cách chọn cạnh kề nhau của . Với mỗi cách chọn cạnh kề nhau đó, có cách chọn đỉnh thứ tư để tạo thành tứ giác có cạnh là cạnh của .
có tứ giác thỏa mãn.
Tứ giác có cạnh là cạnh không kề nhau của đa giác .
Chọn cạnh bất kỳ, có cách chọn cạnh bất kỳ, giả sử là , chọn một cạnh khác (trừ các cạnh , , , , ) có cách chọn. Mỗi tứ giác được chọn sẽ lặp lại lần nên số tứ giác thỏa mãn là .
Vậy có tứ giác có cạnh là cạnh của .
+ TH3: Tứ giác có đúng cạnh là cạnh của .
Có 20 cách chọn cạnh bất kỳ của đa giác là cạnh của tứ giác, giả sử là cạnh .
Chọn trong số đỉnh còn lại (trừ , , , ), có cách chọn.
Trong cách chọn 2 đỉnh đó, có cách chọn 2 đỉnh kề nhau tạo thành cạnh của đa giác.
Vậy có tứ giác có đúng cạnh là cạnh của .
Vậy có tứ giác mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác.
Xác suất cần tìm là .