Ta có $f\left( {{x^3}f\left( x \right)} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^3}f\left( x \right)} \right) = - 1$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^3}f\left( x \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {x^3}f\left( x \right) = a \in \left( {2;3} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\\ {x^3}f\left( x \right) = b \in \left( {5;6} \right)\,\,\,\,\left( 3 \right) \end{array} \right.$

Ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\ f\left( x \right) = 0 \end{array} \right. $$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = c \end{array} \right..$
Xét $g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^3}}},$ với $k > 0.$ Ta có $g'\left( x \right) = - \frac{{3k}}{{{x^4}}} < 0,\forall x \ne 0.$
Bảng biến thiên

Với $k = a,$ dựa vào đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và $c.$
Với $k = b,$ dựa vào đồ thị suy ra phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác $0,c.$ và khác hai nghiệm của phương trình (2).

Vậy phương trình $f\left( {{x^3}f\left( x \right)} \right) + 1 = 0$ có 6 nghiệm phân biệt.