Cho hàm số đa thức $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}.$ Biết $f\left( -2 \right)=0$ và đồ thị của hàm số $y?
Cho hàm số đa thức \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Biết \(f\left( -2 \right)=0\) và đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ.
Hàm số \(y = \left| {4f\left( x \right) - {x^2} + 4} \right|\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Hàm số \(y = \left| {4f\left( x \right) - {x^2} + 4} \right|\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 1.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
Đáp án B
Chọn BĐặt \(g\left( x \right) = 4f\left( x \right) - {x^2} + 4,\) suy ra \(g'\left( x \right) = 4f'\left( x \right) - 2x\).
\(g'\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{x}{2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).
Ta có: \(g\left( { - 2} \right) = 4f\left( { - 2} \right) - {\left( { - 2} \right)^2} + 4 = 0\).
Từ đồ thị ta so sánh các phần diện tích và thấy \({S_2} > {S_1}\).
Suy ra \(\int\limits_0^4 {\left( {f'\left( x \right) - \dfrac{x}{2}} \right){\rm{d}}x} > \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {\dfrac{x}{2} - f'\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^4 {\left( {f'\left( x \right) - \dfrac{x}{2}} \right){\rm{d}}x + \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {f'\left( x \right) - \dfrac{x}{2}} \right){\rm{d}}x} } > 0\) \( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^4 {\left( {f'\left( x \right) - \dfrac{x}{2}} \right){\rm{d}}x} > 0\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^4 {\left( {4f'\left( x \right) - 2x} \right){\rm{d}}x} > 0\) \( \Leftrightarrow g\left( 4 \right) - g\left( { - 2} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow g\left( 4 \right) > g\left( { - 2} \right) = 0\).
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên ta thu được hàm số \(y = \left| {4f\left( x \right) - {x^2} + 4} \right|\) có 3 điểm cực tiểu.