Cho hàm số $f\left( x \right)$ là một đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham s?
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là một đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {{x^2}} \right) = m\) có đúng hai nghiệm thực là
A. \(\left[ {0;4} \right].\)
B. \(\left\{ {0;4} \right\}.\)
C. \(\left\{ 0 \right\} \cup \left( {4; + \infty } \right).\)
D. \(\left( {4; + \infty } \right).\)
Đáp án D
Chọn DĐặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right),\) ta có:
\(g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2}} \right).\) Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x.f'\left( {{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\) là:
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực thì đường thẳng \(y = m\) phải cắt đồ thị \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\) tại đúng 2 điểm, suy ra \(m > 4.\)
Vậy \(m \in \left( {4; + \infty } \right).\)
