Cho hàm số $f\left( x \right)$thỏa mãn $f\left( 4 \right) = \frac{{36}}{5}$ và $f'\left( x \right) = x\sqrt {x + 5} $, $?
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)thỏa mãn \(f\left( 4 \right) = \dfrac{{36}}{5}\) và \(f'\left( x \right) = x\sqrt {x + 5} \), \(\forall x \in \left[ { - 5; + \infty } \right)\). Khi đó \(\int\limits_4^{11} {f\left( x \right)dx} \) bằng
A. \( - \dfrac{{4832}}{{105}}\).
B. \(\dfrac{{61024}}{{105}}\).
C. \(\dfrac{{50128}}{{105}}\).
D. \(\dfrac{{29280}}{{105}}\).
Đáp án B
Chọn BTa có \(f'\left( x \right) = x\sqrt {x + 5} \) nên \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\).
Có \(\int {f'\left( x \right)dx} = \int {x\sqrt {x + 5} dx} = \int {\left( {x + 5 - 5} \right)\sqrt {x + 5} dx} \)
\( = \int {\left[ {\sqrt {{{\left( {x + 5} \right)}^3}} - 5\sqrt {x + 5} } \right]dx = \dfrac{2}{5}{{\left( {x + 5} \right)}^2}\sqrt {x + 5} - \dfrac{{10}}{3}\left( {x + 5} \right)\sqrt {x + 5} + C} \).
Do \(f\left( 4 \right) = \dfrac{{36}}{5}\) nên \(C = 0\), hay \(f\left( x \right) = \dfrac{2}{5}{\left( {x + 5} \right)^2}\sqrt {x + 5} - \dfrac{{10}}{3}\left( {x + 5} \right)\sqrt {x + 5} \).
Suy ra \(\int\limits_4^{11} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{61024}}{{105}}\).
