Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và dương trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, thỏa mãn ${\left[ {f'\?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và dương trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), thỏa mãn \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 12{x^2} - f\left( x \right)f''\left( x \right)\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f'\left( 1 \right) = 1;\,f\left( 1 \right) = 4\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng
A. \(\sqrt {46} \).
B. \(7\).
C. \(3\sqrt 5 \).
D. \(2\sqrt {10} \).
Đáp án A
Chọn ATa có: \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 12{x^2} - f\left( x \right)f''\left( x \right) \Leftrightarrow {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right)f''\left( x \right) = 12{x^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left[ {f'\left( x \right)f\left( x \right)} \right]^\prime } = 12{x^2} \Rightarrow f'\left( x \right)f\left( x \right) = \int {12{x^2}} dx = 4{x^3} + C\).
\( \Rightarrow f'\left( 1 \right).f\left( 1 \right) = 4 + C \Rightarrow C = 0\)\( \Rightarrow f'\left( x \right)f\left( x \right) = 4{x^3} \Rightarrow {\left[ {{f^2}\left( x \right)} \right]^\prime } = 8{x^3} \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = \int {8{x^3}.{\rm{d}}x} = 2{x^4} + C\).
\({f^2}\left( 1 \right) = 2 + C \Rightarrow C = 14\)\( \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = 2{x^4} + 14 \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {2{x^4} + 14} \Rightarrow f\left( 2 \right) = \sqrt {46} \).
