Đáp án A

Chọn A
Theo bài ra: Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Khi đó: \(f'(x) \ge 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Theo giả thiết:
\({\left[ {f'(x)} \right]^2} = \left( {x + 1} \right)f(x)\)
\( \Leftrightarrow f'(x) = \sqrt {\left( {x + 1} \right)f(x)} \) ( \(f(x) > 0\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) )
\( \Leftrightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{2\sqrt {f(x)} }} = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_3^8 {\dfrac{{f'(x)}}{{2\sqrt {f(x)} }}dx} = \int\limits_3^8 {\dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{2}dx} \)
\( \Leftrightarrow \left. {\sqrt {f(x)} } \right|_3^8 = \left. {\dfrac{1}{3}{{\left( {x + 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right|_3^8 = \dfrac{{19}}{3}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {f(8)} - \sqrt {f(3)} = \dfrac{{19}}{3}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {f(8)} = \sqrt {\dfrac{3}{2}} + \dfrac{{19}}{3}\)
Vậy \({f^2}\left( 8 \right) = {\left( {\sqrt {\dfrac{3}{2}} + \dfrac{{19}}{3}} \right)^4} = 3263,21...\)