Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $x\sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left( ?
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(x\sin x\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f}'\left( x \right)}{x}\) là
A. \(x\left( \sin x+\cos x+x\cos x \right)+C\).
B. \(x\left( \sin x+x\cos x \right)+C\).
C. \(x\left( \sin x+2x\cos x \right)+C\).
D. \(x\left( 2\sin x+x\cos x \right)+C\).
Đáp án D
Chọn DTheo đề bài \(x\sin x\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}\) ta suy ra:
\( \Rightarrow \left( {x\sin x} \right)' = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}\)\( \Leftrightarrow \sin x + x.\cos x = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = x\sin x + {x^2}\cos x\).
Tính \(I = \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{x}{\rm{dx}}} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \dfrac{1}{x}\\ {\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = - \dfrac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x\\ v = f\left( x \right) \end{array} \right.\).
Vậy \(I = \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{x}{\rm{dx}} = } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} + \int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} \)
