Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có $f\left( 0 \right)=\frac{1}{2}.$ Đồ thị hàm số $y=f'\left?
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có \(f\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2}.\) Đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Hàm số \(y=\left| 2f\left( x+2 \right)+\left( x+1 \right)\left( x+3 \right) \right|\) nghịch biến trên khoảng
A. \(\left( -\infty ;-3 \right).\)
B. \(\left( -2;-1 \right).\)
C. \(\left( -\dfrac{1}{2};2 \right).\)
D. \(\left( -3;-2 \right).\)
Đáp án D
Đáp án DSử dụng công thức đạo hàm hàm số hợp ta có
\(g(x) = \left| {2f(x + 2) + {x^2} + 4x + 3} \right| \Rightarrow g'(x) = \dfrac{{2f'(x + 2) + 2x + 4}}{{\left| {2f(x + 2) + {x^2} + 4x + 3} \right|}}\).
Hàm số nghịch biến khi
\(g'(x) \le 0 \Leftrightarrow 2f'(x + 2) + 2x + 4 \le 0 \Leftrightarrow f'(x + 2) + x + 2 \le 0 \Leftrightarrow f'(t) \le - t;t = x + 2\).
Dựa trên đồ thị, xét sự tương giao giữa đồ thị hàm số đạo hàm và đường thẳng \(y = - x\).
Chú ý vị trí khi đường thẳng \(y = - x\) ở phía trên đồ thị đạo hàm, ta có
\(\left[ \begin{array}{l} 1 \le t \le 2\\ - 1 \le t \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 \le x + 2 \le 2\\ - 1 \le x + 2 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 0\\ - 3 \le x \le - 2 \end{array} \right.\)
