Cho hình bình hành có Gọi và lần lượt là trung điểm của và là giao điểm của và là giao điểm của và

a) Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành.

b) Tứ giác là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật.

d) Tìm điều kiện của hình bình hành để tứ giác là hình vuông.

• A.
• B.
• C.
• D.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB//CD.

Vì E là trung điểm của AB nên

F là trung điểm của CD nên

Mà AB = CD (cmt).
Do đó: EA = EB = FC = FD

Xét tứ giác AECF có EA = FC và EA//FC (do AB//CD)
Suy ra AECF là hình bình hành.

b) Xét tứ giác AEFD có AE = DF (cm câu a) và AE//DF (do AB//CD) Suy ra AEFD là hình bình hành.

Mặt khác AB = 2AD nên

Khi đó hình bình hành AEFD là hình thoi.

c) Do AEFD là hình thoi nên ta có:

ED là đường phân giác của góc AEF nên

Chứng minh tương tự câu c ta cũng có tứ giác BEFC là hình thoi.

Suy ra

EC là đường phân giác của góc BEF nên

Ta có:
(do là hai góc kề bù)

Suy ra

Xét tứ giác EIFK có: nên là hình chữ nhật.

d) Theo câu c, tứ giác EIFK là hình chữ nhật

Do đó để tứ giác EIFK là hình vuông thì IE = IF (1)

Xét hình thoi AEFD có hai đường chéo AF, DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên I là trung điểm của AF và DE.
Suy ra IA = IF và ID = IE (2)

Từ (1) và (2) suy ra IA = ID.
Tam giác IAD có IA = ID nên là tam giác cân tại I

Lại có (do ) nên tam giác IAD vuông cân tại I.
Suy ra

Mặt khác AEFD là hình thoi (câu c) nên ta có AF là đường phân giác của góc EAD.

Suy ra hay

Vậy để tứ giác EIFK là hình vuông thì hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện hay ABCD là hình chữ nhật.