Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Mặ?
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(SM\) cắt \(SB,SC\) lần lượt tại \(E,F.\) Biết \({V_{S.AEF}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABC}}.\) Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC.\)
A. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}.\)
B. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{8}.\)
C. \(V = \dfrac{{2{a^3}}}{5}.\)
D. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{2}.\)
Đáp án B
Đáp án BGọi H là giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng SM.
Khi đó mặt phẳng (P) vuông góc với SM nên mặt phẳng (P) vuông góc với (SAM).
Lại có mặt phẳng (P) vuông góc với (SAM) và BC vuông với (SAM) nên BC song song với mặt phẳng (P).
Như vậy BC song song với mặt phẳng (AEF). Sử dụng tỉ số thể tích tứ diện ta có
\(\dfrac{{{V_{S.AEF}}}}{{{V_{S.ABc}}}} = \dfrac{{SE}}{{SB}}.\dfrac{{SF}}{{SC}} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\).
Như vậy \(\dfrac{{SH}}{{SM}} = \dfrac{1}{2}\)suy ra H là trung điểm của SM.
Tam giác SAM vuông cân tại A nên \(SA = AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).