Đáp án D

Chọn D

Gọi \(O = AC \cap BD.\) Suy ra \(CO \bot BD.\) Ta có \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right);\,\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD.\) Suy ra \(CO \bot \left( {SBD} \right).\) Dựng \(OH \bot SB\left( {H \in SB} \right).\) Suy ra \(OH\) là đoạn vuông góc chung của \(AC\) và \(SB.\) Suy ra \(d\left( {AC;SB} \right) = OH.\)
Xét tam giác \(SAC\) ta có \(SO\) là đường trung tuyến và \(SO \bot CO.\) Suy ra tam giác \(SAC\) cân tại \(S.\) Do đó, \(SA = SC = a.\)
Ta có \(CS = CD = CB = a\) và \(CO \bot \left( {SBD} \right).\) Suy ra \(CO\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBD.\) Suy ra \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBD.\) Suy ra tam giác \(SBD\) vuông tại \(S.\)
Ta có \(OH\) là đường trung bình của tam giác \(\Delta SBD \Rightarrow HO = \dfrac{{SD}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)