Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hai điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB$ và $AD$ ( $M,N$ khôn?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hai điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB$ và $AD$ ($M,N$ không trùng với $A$) sao cho $\dfrac{{AB}}{{AM}} + 3.\dfrac{{AD}}{{AN}} = 6$. Ký hiệu $V,{V_1}$ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S.ABCD$ và $S.MBCDN.$ Tìm giá trị lớn nhất $\dfrac{{{V_1}}}{V}.$

A. $\dfrac{2}{3}$.

B. $\dfrac{3}{4}$.

C. $\dfrac{{14}}{{17}}$.

D. $\dfrac{5}{6}$.

Đáp án D

Chọn D

Do $ABCD$ là hình bình hành nên ${V_{S.ABD}} = {V_{S.CBD}} = \dfrac{1}{2}V.$
$\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{{V_{A.SMN}}}}{{{V_{A.SBD}}}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AN}}{{AD}}.$
Đặt $\dfrac{{AM}}{{AB}} = x$ ; $\dfrac{{AN}}{{AD}} = y$ ta có: ${V_{A.SMN}} = xy{V_{A.SBD}} = \dfrac{1}{2}xyV$.
$ \Rightarrow $ ${V_1} = {V_{S.MBCDN}} = V - \dfrac{1}{2}xyV = \left( {1 - \dfrac{1}{2}xy} \right)V$ $ \Rightarrow $ $\dfrac{{{V_1}}}{V} = 1 - \dfrac{1}{2}xy$
Từ giả thiết suy ra: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{y} = 6$.
Có $6 = \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{x}.\dfrac{3}{y}} $ $ \Rightarrow $ $xy \ge \dfrac{1}{3}$
$ \Rightarrow $ $\dfrac{{{V_1}}}{V} = 1 - \dfrac{1}{2}xy \le 1 - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}$ $ \Rightarrow $ $\dfrac{{{V_1}}}{V} \le \dfrac{5}{6}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $\dfrac{{{V_1}}}{V}$ là $\dfrac{5}{6}$.