Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông$,{\rm{ }}SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA = 3a.$ Biết góc giữa $S?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông\(,{\rm{ }}SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = 3a.\) Biết góc giữa \(SD\) và \(\left( {SAC} \right)\) bằng \({30^o}.\) Thể tich của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
A. \(9{a^3}.\)
B. \(3{a^3}.\)
C. \(6{a^3}.\)
D. \(\dfrac{{9{a^3}}}{2}.\)
Đáp án A
Chọn A.
Đặt \(AB = x > 0.\)
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} OD \bot AC\\ OD \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow OD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow {30^o} = \widehat {\left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD,OD} \right)} = \widehat {OSD}.\)
\( \Rightarrow OD = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow SO = \dfrac{{OD}}{{\tan {{30}^o}}} = \dfrac{{x\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow S{A^2} + A{O^2} = S{O^2} \Rightarrow x = 3a.\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \dfrac{1}{3}.{\left( {3a} \right)^2}.3a = 9{a^3}.\) vậy \({V_{S.ABCD}} = 9{a^3}.\)
