Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật tâm $O,\,SD \bot \left( {ABCD} \right),\,AD = a,$ và $\widehat {AOD} = {6?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật tâm \(O,\,SD \bot \left( {ABCD} \right),\,AD = a,\) và \(\widehat {AOD} = {60^0}.\) Biết \(SC\) tạo với đáy một góc \({45^0}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB.\)
A. \(\dfrac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}.\)
B. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)
C. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)
D. \(\dfrac{{2a}}{3}.\)
Đáp án B
Đáp án B.
Gọi M là trung điểm của SD.
Ta có tam giác ADO đều nên \(DC=AD\sqrt{3}=a\sqrt{3}\Rightarrow SD=DC=a\sqrt{3}\Rightarrow DM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
Kẻ DH vuông góc với AC và DK vuông góc với MH.
Ta có \(d(AC,SB)=d((AMC),SB)=d(S,(AMC))=d(D,(AMC))=DK\).
Khi đó D.MAC là tứ diện vuông nên \(\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{8}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow DK=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\).
