Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Các điểm $A',C'$ thỏa mãn $\overrightarrow {SA'} = \frac?

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Các điểm $A',C'$ thỏa mãn $\overrightarrow {SA'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC'} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {SC} .$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $A'C'$ cắt các cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $B',D'$ và đặt $k = \dfrac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}.$ Giá trị nhỏ nhất của $k$ là

A. $\dfrac{{\sqrt {15} }}{{16}}.$

B. $\dfrac{4}{{15}}.$

C. $\dfrac{1}{{60}}.$

D. $\dfrac{1}{{30}}.$

Đáp án C

Đặt $\dfrac{{SB'}}{{SB}} = x;\dfrac{{SD'}}{{SD}} = y(0 < x,y \le 1)$, giả sử $x \ge y > 0$ta được
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3 + 5 = 8 \Rightarrow k = \dfrac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}} = \dfrac{{xy}}{{15}}$.
Khi đó $\dfrac{2}{x} \le \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \Rightarrow x \ge \dfrac{1}{4};y = \dfrac{x}{{8x - 1}}$và $k = \dfrac{{{x^2}}}{{15(8x - 1)}} = f(x)$.
Khảo sát hàm số này ta có $f'(x) = \dfrac{{8{x^2} - 2x}}{{15{{(8x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \dfrac{1}{4}$.
Hàm số f (x) đồng biến trên $\left[ {\dfrac{1}{4};1} \right] \Rightarrow k = f(x) \ge f\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{{60}}$.