Đáp án D

Chọn D

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\).
Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(KCI\) đồng dạng (g-g) nên ta có:
\(\dfrac{{IC}}{{KI}} = \dfrac{{CD}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow KI = 2IC = AC = a\sqrt 5 \).
Xét tam giác \(IMK\) vuông tại \(M\) ta có: \(KM = \sqrt {I{K^2} - I{M^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2} - {a^2}} = 2a.\)
Suy ra khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác \(CKIJ\) quanh trục \(CK\) bao gồm khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) và khối trụ \(\left( {{T_2}} \right)\).
Trong đó:
+) Khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) được tạo thành khi quay tam giác \(KIM\) quanh cạnh \(KM\). Khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) có đường cao \({h_1} = KM = 2a\), bán kính đáy \({r_1} = IM = a\) nên có thể tích
\({V_{{N_1}}} = \dfrac{1}{3}\pi {r_1}^2{h_1} = \dfrac{1}{3}\pi.{a^2}.2a = \dfrac{{2{a^3}\pi }}{3}\).
+) Khối trụ \(\left( {{T_2}} \right)\) được tạo thành khi quay hình chữ nhật \(IMCJ\) quanh cạnh \(MC\). Khối trụ \(\left( {{T_2}} \right)\) có đường cao \({h_2} = MC = \dfrac{a}{2}\), bán kính đáy \({r_2} = JC = a\) nên có thể tích
\({V_{{T_2}}} = \pi r_2^2{h_2} = \pi.{a^2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^3}\pi }}{2}.\)
Vậy thể tích của khối tròn xoay đó là \(V = {V_{{N_1}}} + {V_{{T_2}}} = \dfrac{{2{a^3}\pi }}{3} + \dfrac{{{a^3}\pi }}{2} = \dfrac{{7{a^3}\pi }}{6}.\)