Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh \[AA',\ BB',\ CC'\] sao cho $AM=2MA',\ N?

Đáp án B

Đáp án B

Đặt \(x=\dfrac{AM}{AA'};\ y=\dfrac{BN}{BB'}\ ;\ z=\dfrac{CP}{CC'}\).
Áp dụng công thức \(\dfrac{{{V}_{ABCMNP}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\dfrac{x+y+z}{3}=\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}}{3}=\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow \dfrac{{{V}_{ABCMNP}}}{{{V}_{A'B'C'MNP}}}=1\) hay \(\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1\).
Vậy chọn B
Chứng minh công thức

\({{V}_{lt}}=V\ \); \({{V}_{ABCMNP}}={{V}_{P.ABNM}}+{{V}_{P.ABC}}\)
\({{V}_{P.ABC}}=\dfrac{CP}{C'C}{{V}_{C'.ABC}}=\dfrac{CP}{C'C}.\dfrac{1}{3}V\quad (1)\)
\({{V}_{PABNM}}=\dfrac{1}{3}d(P,(ABNM)).{{S}_{ABNM}}\)
\({{V}_{C'.ABB'A'}}=\dfrac{1}{3}d(C',(ABB'A')).{{S}_{ABB'A'}}\)
Vì \(CC'//(ABB'A')\)nên \(d(C',(ABB'A'))=d(P,(ABNM))\)
Do đó \(\dfrac{{{V}_{P.ABNM}}}{{{V}_{C'.ABB'A'}}}=\dfrac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{ABB'A'}}}=\dfrac{\left( \dfrac{BN+MA}{2} \right)h}{AA'.h}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{AM}{AA'}+\dfrac{BN}{BB'} \right)=\dfrac{1}{2}(x+y)\)
\(\Rightarrow {{V}_{P.ABNM}}=\dfrac{1}{2}(x+y).{{V}_{C'.ABB'A'}}=\dfrac{1}{2}.(x+y).\dfrac{2}{3}V\quad (2)\)
Cộng \((1),\ (2)\) ta được điều cần chứng minh.