Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$ và thể tích khối lăng trụ là $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}?
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\) và thể tích khối lăng trụ là \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\). Tính diện tích tam giác \(A'BC\).
A. \({a^2}\sqrt 3 \).
B. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
C. \(\dfrac{{{a^2}}}{2}\).
D. \({a^2}\).
Đáp án C
Chọn C
Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} \Rightarrow AA' = \dfrac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{a}{2}\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), kẻ \(AH \bot A'M\) tại \(H\) thì \(AH = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\).
Tam giác \(A'AM\) vuông tại \(A\) có
\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{{A'}^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{16}}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = {V_{A'.ABC}} = {V_{A.A'BC}} = \dfrac{1}{3}AH.{S_{\Delta A'BC}} \Rightarrow {S_{\Delta A'BC}} = \dfrac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{AH}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
