Đáp án C

Chọn C

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\), kẻ \(MN \bot A'B' \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Kẻ \(MH \bot AN\) suy ra khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((ABB'A')\) là đoạn thẳng \(MH\). Ta có
\(d\left( {C;(ABB'A')} \right) = d\left( {C';(ABB'A')} \right) = 2d\left( {M;(ABB'A')} \right) = 2MH = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\) suy ra \(MH = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\). Từ đó suy ra \(\dfrac{1}{{A{M^2}}} = \dfrac{1}{{M{H^2}}} - \dfrac{1}{{M{N^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra \(\Delta AB'C'\) là tam giác đều cạnh \(a\).
Gọi \(I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB'\) và \(IC'\). Ta có \(IC' \bot IB'\) suy ra \(MK \bot IC'\) (1).
Mặt khác ta có \(A'M \bot IC'\) (2) do \(A'M \bot (AB'C')\). Từ (1) và (2) suy ra \(A'K \bot IC'\).
Khi đó \(\sin \alpha = \dfrac{{A'M}}{{A'K}}\). Ta có \(A'K = \sqrt {M{K^2} + A'{M^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = a\dfrac{{\sqrt {13} }}{4}\).
Vậy \(\sin \alpha = \dfrac{{A'M}}{{A'K}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\dfrac{{\sqrt {13} }}{4}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} = \dfrac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\).