Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích là $V$. Biết khoảng cách giữa các cặp cạnh đối $AB$ và $CD$, $AC$ và $BD$, $AD$ và $?
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích là \(V\). Biết khoảng cách giữa các cặp cạnh đối \(AB\) và \(CD\), \(AC\) và \(BD\), \(AD\) và \(BC\) lần lượt là 3, 4, 5. Giá trị nhỏ nhất của \(V\) là
A. \(30\).
B. \(10\).
C. \(15\).
D. \(20\).
Đáp án A
Chọn ADựng hình hộp \(AEBF.GDHC\) (như hình vẽ).
\(B = dtAEBF\)
\(h = \) chiều cao của hình hộp, \(h\) chính là độ dài đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\).
Dễ dàng chứng minh được: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{V_{AEBF.GDHC}} = \dfrac{1}{3}Bh\).
Ta có:
\(B = dtAEBE = d\left( {AF,BE} \right).BE\)
\( \ge d\left( {\left( {AFCG} \right),\left( {BEDH} \right)} \right).d\left( {\left( {BFCH} \right),\left( {AEDG} \right)} \right) = d\left( {AC,BD} \right).d\left( {AD,BC} \right)\).
\(h = d\left( {AB,CD} \right)\).
Suy ra: \({V_{ABCD}} \ge \dfrac{1}{3}.d\left( {AB,CD} \right).d\left( {AC,BD} \right).d\left( {AD,BC} \right) = \dfrac{1}{3}.3.4.5 = 20\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hình hộp \(AEBF.GDHC\) là hình hộp chữ nhật.