Cho tứ diện $SABC,$ $M$ và $N$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA$ và $SB$ sao cho $2AM = SM,\,2SN = BN,\,\left( \a?
Cho tứ diện \(SABC,\) \(M\) và \(N\) lần lượt là các điểm thuộc các cạnh \(SA\) và \(SB\) sao cho \(2AM = SM,\,2SN = BN,\,\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(MN\) và song song với \(SC.\) Kí hiệu \(\left( {{H_1}} \right)\) và \(\left( {{H_2}} \right)\) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện \(S.ABC\) bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\) trong đó \(\left( {{H_1}} \right)\) chứa điểm \(A,\) \(\left( {{H_2}} \right)\) chứa điểm \(S\) ; \({V_1}\) và \({V_2}\) lần lượt là thể tích của \(\left( {{H_1}} \right)\) và \(\left( {{H_2}} \right).\) Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng
A. \(\dfrac{5}{4}.\)
B. \(\dfrac{4}{5}.\)
C. \(\dfrac{3}{4}.\)
D. \(\dfrac{4}{3}.\)
Đáp án A
Chọn A
Kẻ \(MQ\,{\rm{//}}\,SC,\,\left( {Q \in AC} \right)\) và \(NP\,{\rm{//}}\,SC,\,\left( {P \in BC} \right).\)
Ta có thiết diện của tứ diện \(SABC\) khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(MNPQ.\)
Ta có \(\dfrac{{AQ}}{{AC}} = \dfrac{{AM}}{{AS}} = \dfrac{1}{3};\,\dfrac{{BP}}{{BC}} = \dfrac{{BN}}{{BS}} = \dfrac{2}{3}.\)
+) \(\dfrac{{{S_{\Delta CPQ}}}}{{{S_{\Delta CAB}}}} = \dfrac{{CP}}{{CB}}.\dfrac{{CQ}}{{CA}} = \dfrac{2}{9} \Rightarrow {S_{\Delta CPQ}} = \dfrac{2}{9}{S_{\Delta ABC}} \Rightarrow {S_{ABPQ}} = \dfrac{7}{9}{S_{\Delta ABC}}.\)
Mặt khác \(d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right).\)
\( \Rightarrow {V_{M.ABPQ}} = \dfrac{7}{{27}}{V_{SABC}}.\)
+) Lại có \({S_{\Delta BNP}} = \dfrac{4}{9}{S_{\Delta SBC}}\) và \(d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) \Rightarrow {V_{M.BNP}} = \dfrac{8}{{27}}{V_{SABC}}.\)
Suy ra \({V_1} = {V_{M.ABPQ}} + {V_{M.BNP}} = \dfrac{5}{9}{V_{SABC}} \Rightarrow {V_2} = \dfrac{4}{9}{V_{SABC}}.\)
Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{5}{4}.\)
