Đường cong $y = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x + 1$ có hai điểm cực trị đối xứng với?
Moon.vn - Học để khẳng định mình

Đường cong $y = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x + 1$ có hai điểm cực trị đối xứng với?

ID [15777]

Đường cong \(y = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x + 1\) có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y = x + 2\) khi \(m \in \left\{ {a;b;c} \right\}\). Tính giá trị biểu thức \(M = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).

A.\(M = 10.\)
B.\(M = 16.\)
C.\(M = 13.\)
D.\(M = 12.\)
Nhóm Live và hỗ trợ Mooners
https://fb.com/groups/mooners2k3
Đáp án CHD: Ta có \(y'=6{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+6{{m}^{2}}+6m=0\Rightarrow {{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m=0\)
\(\Rightarrow \Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+m \right)=1>0\) \(\Rightarrow \left[ \begin{align}
& x=\dfrac{2m+1-1}{2}=m \\
& x=\dfrac{2m+1+1}{2}=m+1 \\
\end{align} \right.\)
Với \({{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m=0\) ta biến đổi
\(y = 2x\left[ {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m} \right] - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 4\left( {{m^2} + m} \right)x + 1 = - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 4\left( {{m^2} + m} \right)x + 1\)
\( = - \left( {2m + 1} \right)\left[ {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m} \right] - \left( {4{m^2} + 4m + 1} \right)x + \left( {2m + 1} \right)\left( {{m^2} + m} \right) + 4\left( {{m^2} + m} \right)x + 1\)
\( = - x + 2{m^3} + 3{m^2} + m + 1 \Rightarrow d:y = - x + 2{m^3} + 3{m^2} + m + 1\) là phương trình đi qua 2 điểm cực trị.
Khi đó, ta có 2 điểm cực trị \(\left\{ \begin{array}{l} A\left( {m;2{m^3} + 3{m^2} + 1} \right)\\ B\left( {m + 1;2{m^3} + 3{m^2}} \right) \end{array} \right.\)
Trung điểm của \(AB\) là \(M\left( \dfrac{2m+1}{2};\dfrac{4{{m}^{3}}+6{{m}^{2}}+1}{2} \right)\in d':y=x+2\Rightarrow \dfrac{4{{m}^{3}}+6{{m}^{2}}+1}{2}=\dfrac{2m+1}{2}+2\)
\(\Rightarrow 4{{m}^{3}}+6{{m}^{2}}+1=2m+5\Rightarrow \left( m+1 \right)\left( 4{{m}^{2}}+2m-4 \right)=0\) \(\Rightarrow \left[ \begin{align}
& m=-1 \\
& m=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{4} \\
\end{align} \right.\) thỏa mãn. Chọn C
Bình luận
binhk3pro - thầy thiếu 1 ạ

Trả lời

binhk3pro - gian nan vất vả nhỉ

Trả lời

0838502268 - bài này giải ntn?

Trả lời

daudaihock52a1 đối xứng khi y'=0 có 2 nghiệm phân biệt
Gọi A( ) B() I là TĐ AB =>I()
theo đề bài ta có hệ phtrinh I thuộc d:y=x+2 và d vuông góc AB =>m
0838502268 tính được tọa độ A,B hơi rắc rối :(