Giả sử $p$ và $q$ là các số dương sao cho ${\log {16}}p = {\log {20}}q = {\log {25}}\left( {p + q} \right)$. Tìm giá trị?
Giả sử \(p\) và \(q\) là các số dương sao cho \({\log _{16}}p = {\log _{20}}q = {\log _{25}}\left( {p + q} \right)\). Tìm giá trị \(\dfrac{p}{q}.\)
A. \(\dfrac{8}{5}.\)
B. \(\dfrac{1}{2}\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right).\)
C. \(\dfrac{4}{5}\).
D. \(\dfrac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right).\)
Đáp án B
Đặt \(t = {\log _{16}}p = {\log _{20}}q = {\log _{25}}\left( {p + q} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} p = {16^t}\\ q = {20^t}\\ p + q = {25^t} \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{p}{q} = {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^t}.\)Ta có \(p + q = {25^t} \Leftrightarrow {16^t} + {20^t} = {25^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^t} + 1 = {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^{2t}} + {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^t} - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^t} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^t} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^t} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{p}{q} = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right).\) Chọn B.