Giá trị của $m$ đề đường thẳng $d:x + 3y + m = 0$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 3}}{{x

Giá trị của $m$ đề đường thẳng $d:x + 3y + m = 0$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}$ tại hai điểm $M,N$ sa?

Giá trị của $m$ đề đường thẳng $d:x + 3y + m = 0$ cắt đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}}$ tại hai điểm $M,N$ sao cho tam giác $AMN$ vuông tại điểm $A\left( {1;0} \right)$ là

A. $m = 4.$

B. $m = - 4.$

C. $m = 6.$

D. $m = - 6.$

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là

$x + 3.\dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} + m = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} + (m + 5)x - m - 9 = 0 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \Delta = {(m + 7)^2} + 12 > 0,\forall m$

Vậy hai đồ thị luôn có 2 giao điểm phân biệt với mọi m.

Ta có $M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AM} = ({x_1} - 1;{y_1}),\overrightarrow {AN} = ({x_2} - 1;{y_2})$.

$x+3y+m=0\Rightarrow y=-\dfrac{1}{3}m-\dfrac{1}{3}x\Rightarrow {{y}_{1}}=-\dfrac{1}{3}m-\dfrac{1}{3}{{x}_{1}},\ {{y}_{2}}=-\dfrac{1}{3}m-\dfrac{1}{3}{{x}_{2}}.$

Khi đó

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=0\Rightarrow \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)+{{y}_{1}}{{y}_{2}}=0\Rightarrow \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)+\left( -\dfrac{1}{3}m-\dfrac{1}{3}{{x}_{1}} \right)\left( -\dfrac{1}{3}m-\dfrac{1}{3}{{x}_{2}} \right)=0$

$\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1+\dfrac{1}{9}{{m}^{2}}+\dfrac{1}{9}m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\dfrac{1}{9}{{x}_{1}}{{x}_{2}}=0$

$\Rightarrow \dfrac{10}{9}{{x}_{1}}{{x}_{2}}-\dfrac{1}{9}\left( m-9 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\dfrac{1}{9}\left( {{m}^{2}}+9 \right)=0$

$\Rightarrow 10{{x}_{1}}{{x}_{2}}+(m-9)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}+9=0$

$\Rightarrow 10(-m-9)+(m-9)(-m-5)+{{m}^{2}}+9=0\Rightarrow -6m-36=0\Rightarrow m=-6.$