Gọi $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ${\log 9}x = {\log 6}y = {\log 4}\left( {x + y} \right)$ và $\frac{x}{?
Gọi \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \({\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}\left( {x + y} \right)\) và \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{{ - a + \sqrt b }}{2}\) với \(a,b\) là hai số nguyên dương. Tính \(T = a - b.\)
A. \(T = - 4.\)
B. \(T = 6.\)
C. \(T = - 6.\)
D. \(T = 4.\)
Đáp án A
Chọn AĐặt \({\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}\left( {x + y} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {9^t}\\y = {6^t}\\x + y = {4^t}\end{array} \right.\) và \(\dfrac{x}{y} = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t}.\)
Khi đó ta có \({9^t} + {6^t} = {4^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} + 1 = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{2t}} + {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) ( do \({\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} > 0\) )
Vậy \(a = 1,\,b = 5.\) Khi đó \(T = a - b = 1 - 5 = - 4.\)
