Hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số$y = \frac{{x + 2 - \sqrt {6x + 3} }}{{{f^3}\left( x \right) - 4f\left( x \right)}}$.
-
-
-
-
Đáp án đúng:
Điều kiện $x\ge -\dfrac{1}{2}.$
Chú ý rằng $y=\dfrac{{{\left( x+2 \right)}^{2}}-\left( 6x+3 \right)}{\left( x+2+\sqrt{6x+3} \right)f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]\left[ f\left( x \right)-2 \right]}$ $=\dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{\left( x+2+\sqrt{6x+3} \right)f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]\left[ f\left( x \right)-2 \right]}.$
Xét $f\left( x \right)=0$ thu được ba nghiệm $x=m<0,\ x=0,\ x=n>0,$ trong đó $m>-2.$
Xét $f\left( x \right)=2$ thu được nghiệm kép $x=1$ và nghiệm $x=-2.$
Xét $f\left( x \right)=-2$ thu được nghiệm kép $x=1$ và nghiệm $x=-2.$
Như vậy, $y=\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{\left( x+2+\sqrt{6x+3} \right)x\left( x-m \right)\left( x-n \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}$ $y=\dfrac{1}{\left( x+2+\sqrt{6x+3} \right)x\left( x-m \right)\left( x-n \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}.$
Đối chiếu điều kiện xác định ta thu được 3 tiệm cận đứng.
Số bình luận về đáp án: 60
Chú ý rằng $y=\dfrac{{{\left( x+2 \right)}^{2}}-\left( 6x+3 \right)}{\left( x+2+\sqrt{6x+3} \right)f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]\left[ f\left( x \right)-2 \right]}$ $=\dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{\left( x+2+\sqrt{6x+3} \right)f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]\left[ f\left( x \right)-2 \right]}.$
Xét $f\left( x \right)=0$ thu được ba nghiệm $x=m<0,\ x=0,\ x=n>0,$ trong đó $m>-2.$
Xét $f\left( x \right)=2$ thu được nghiệm kép $x=1$ và nghiệm $x=-2.$
Xét $f\left( x \right)=-2$ thu được nghiệm kép $x=1$ và nghiệm $x=-2.$
Như vậy, $y=\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{\left( x+2+\sqrt{6x+3} \right)x\left( x-m \right)\left( x-n \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}$ $y=\dfrac{1}{\left( x+2+\sqrt{6x+3} \right)x\left( x-m \right)\left( x-n \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}.$
Đối chiếu điều kiện xác định ta thu được 3 tiệm cận đứng.