Lập phương trình chính tắc Elip, biết:
a) Tứ giác ABCD là hình thoi có 4 đỉnh trùng với các đỉnh của Elip. Đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình 
và 
, A thuộc Ox.
b) Elip có độ dài trục lón bằng 8 và giao điểm của Elip với đường tròn 
tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông.
c) Elip có tâm sai 
và giao điểm của fElip với đường tròn 
tại 4 điểm A, B, C, D sao cho AB song song với Ox và 
.
d) Elip có độ dài trục lớn bằng 
, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của Elip cùng nằm trên một đường tròn.
-
-
-
-
Đáp án đúng:
a) Giả sử một đỉnh của hình thoi là 
. Suy ra 
và 
.
Theo giả thiết : 
Đường tròn 
có 
. Gọi H là hình chiếu của O lên AB với 
. Khi đó ta có:
.
Vậy phương trình Elip là: 
b) Elip có độ dài trục lớn bằng 8 nên 
.
Do 
đều có tâm đối xứng là O và trục đối xứng là Ox; Oy nên hình vuông tạo bởi giữa chúng cũng có tính chất tương tự. Do đó, ta giả sử gọi một đỉnh của hình vuông là 
với x > 0. Vì 
nên: 
.
Ta có 
Vậy phương trình của Elip là: 
c) Elip có tâm sai 
.
Đặt 
với 
. Giả sử một đỉnh 
. Ta có:
Mặt khác, do 
nên:
Vậy phương trình Elip cần tìm là : 
d) Do độ dài trục lớn bằng 
nên 
.
Các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm cùng thuộc đường tròn nên b= c
Từ hệ thức 
Vậy Elip cần tìm có phương trình là: 
Số bình luận về đáp án: 3
. Suy ra và . Theo giả thiết :
Đường tròn
có . Gọi H là hình chiếu của O lên AB với . Khi đó ta có:
.
Vậy phương trình Elip là:
b) Elip có độ dài trục lớn bằng 8 nên
.
Do
đều có tâm đối xứng là O và trục đối xứng là Ox; Oy nên hình vuông tạo bởi giữa chúng cũng có tính chất tương tự. Do đó, ta giả sử gọi một đỉnh của hình vuông là với x > 0. Vì nên: .
Ta có
Vậy phương trình của Elip là:
c) Elip có tâm sai
.
Đặt
với . Giả sử một đỉnh . Ta có:
Mặt khác, do
nên:
Vậy phương trình Elip cần tìm là :
d) Do độ dài trục lớn bằng
nên .Các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm cùng thuộc đường tròn nên b= c
Từ hệ thức
Vậy Elip cần tìm có phương trình là: