Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.
Các tứ giác $ABCD,CDPQ$ là các hình vuông cạnh $2,5\,cm$. Tứ giác $ABEF$ là hình chữ nhật có $BE = 3,5\,cm$. Mặt bên$PQEF$ được mài nhẵn theo đường parabol $\left( P \right)$ có đỉnh parabol nằm trên cạnh $EF$. Thể tích của chi tiết máy bằng
-
-
-
-
Đáp án đúng: D
Gọi hình chiếu của $P,\,Q$ trên $AF$ và $BE$ là $R$ và$S$. Vật thể được chia thành hình lập phương $ABCD.PQRS$ có cạnh $2,5\,cm$, thể tích ${V_1} = \frac{{125}}{8}\,c{m^3}$ và phần còn lại có thể tích ${V_2}$. Khi đó thể tích vật thể $V = {V_1} + {V_2} = \frac{{125}}{8} + {V_2}$.
Đặt hệ trục $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với$F$, $Ox$ trùng với$FA$, $Oy$ trùng với tia $Fy$ song song với $AD$. Khi đó Parabol $\left( P \right)$có phương trình dạng$y = a{x^2}$, đi qua điểm $P\left( {1;\frac{5}{2}} \right)$ do đó $a = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2}{x^2}$.
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ và đi qua điểm $M\left( {x;0;0} \right),\,0 \le x \le 1$ ta được thiết diện là hình chữ nhật $MNHK$ có cạnh là $MN = \frac{5}{2}{x^2}$ và $MK = \frac{5}{2}$do đó diện tích $S\left( x \right) = \frac{{25}}{4}{x^2}$
Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có ${V_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{25}}{4}{x^2}dx} = \frac{{25}}{{12}}$
Từ đó $V = \frac{{125}}{8} + \frac{{25}}{{12}} = \frac{{425}}{{24}}c{m^3}$
Số bình luận về đáp án: 3
Gọi hình chiếu của $P,\,Q$ trên $AF$ và $BE$ là $R$ và$S$. Vật thể được chia thành hình lập phương $ABCD.PQRS$ có cạnh $2,5\,cm$, thể tích ${V_1} = \frac{{125}}{8}\,c{m^3}$ và phần còn lại có thể tích ${V_2}$. Khi đó thể tích vật thể $V = {V_1} + {V_2} = \frac{{125}}{8} + {V_2}$.
Đặt hệ trục $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với$F$, $Ox$ trùng với$FA$, $Oy$ trùng với tia $Fy$ song song với $AD$. Khi đó Parabol $\left( P \right)$có phương trình dạng$y = a{x^2}$, đi qua điểm $P\left( {1;\frac{5}{2}} \right)$ do đó $a = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2}{x^2}$.
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ và đi qua điểm $M\left( {x;0;0} \right),\,0 \le x \le 1$ ta được thiết diện là hình chữ nhật $MNHK$ có cạnh là $MN = \frac{5}{2}{x^2}$ và $MK = \frac{5}{2}$do đó diện tích $S\left( x \right) = \frac{{25}}{4}{x^2}$
Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có ${V_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{25}}{4}{x^2}dx} = \frac{{25}}{{12}}$
Từ đó $V = \frac{{125}}{8} + \frac{{25}}{{12}} = \frac{{425}}{{24}}c{m^3}$