Trong không gian, cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,AB = AC = a$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ?
Trong không gian, cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A,AB = AC = a\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quay quanh cạnh huyền \(BC\) bằng
A. \(\dfrac{{\pi.{a^3}}}{6}\).
B. \(\dfrac{{\pi.{a^3}}}{3}\).
C. \(V = \dfrac{{\pi.{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
D. \(V = \dfrac{{\pi.{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
Đáp án D
Chọn DGọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(BC\).
Gọi \(V,{{V}_{1}}\) lần lượt là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \(ABC\)quay quanh cạnh huyền \(BC\) , khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \(AHB\)quay quanh cạnh \(BH\).
Khi đó: \(V=2{{V}_{1}}\).
Ta có:
\(BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
\(AH=HB=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
\({{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi A{{H}^{2}}.BH=\dfrac{1}{3}.\pi.{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\)
\(\Rightarrow V=2{{V}_{1}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}\)