Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $E(2;1;3),$ mặt phẳng $(P):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S):{\left( {x

Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $E(2;1;3),$ mặt phẳng $(P):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S):{\left( {x - 3} \right?

Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $E(2;1;3),$ mặt phẳng $(P):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36.$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $E,$ nằm trong $(P)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $\Delta $ là

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 9t}\\{y = 1 + 9t}\\{z = 3 + 8t}\end{array}} \right.$

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 5t}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 3}\end{array}} \right.$

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3}\end{array}} \right.$

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 4t}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 3 - 3t}\end{array}} \right.$

Đáp án C

HD:
Xét mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36$ có tâm $I\left( {3;2;5} \right),$ bán kính $R = 6.$

Ta có suy ra $E$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right).$

Để $\left( \Delta \right)$ cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất $ \Leftrightarrow \,\,IE \bot \Delta $

Do đó ${\vec u_\Delta } = \left[ {\overrightarrow {EI} ;{{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right] = \left( { - \,5;5;0} \right)$ và

$\Delta $ đi qua $E$$ \Rightarrow \,\,\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 3\end{array} \right..$ Chọn C.