Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 8 = 0.$ Xét $M$ là đi?
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1)\) và mặt phẳng \((P):2x - y + 2z - 8 = 0.\) Xét \(M\) là điểm thay đổi thuộc \((P),\) giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng
A. 135.
B. 105.
C. 108.
D. 145.
Đáp án A
HD:Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{2{x_A} + 3{x_B}}}{{2 + 3}} = - 1\\{y_I} = \dfrac{{2{y_A} + 3{y_B}}}{{2 + 3}} = 1\\{z_I} = \dfrac{{2{z_A} + 3{z_B}}}{{2 + 3}} = 1\end{array} \right.\)
Khi đó \(T = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + 3{\overrightarrow {MB} ^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\)
\( = 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right) + 2I{A^2} + 3I{B^2} = 5M{I^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M{I_{\min }}\) hay M là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\)
Khi đó \(M{I_{\min }} = d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 1 + 2 - 8} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3\)
Suy ra \({T_{\min }} = {5.3^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2} = 135.\) Chọn A.
