Đáp án A

Chọn A

Nhận thấy \(AM \bot SB,\) \(AP \bot SD,\) \(AN \bot SC\).
Chứng minh được \(SC \bot \left( {AMP} \right),\) mà \(AN \bot SC\) nên \(A\,,\,\,M\,,\,\,N\,,\,\,P\) đồng phẳng.
Vì \(\Delta SAB = \Delta SAD \Rightarrow AM = AP\) và \(SM = SP\). Khi đó \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{SP}}{{SD}} \Rightarrow MP\parallel BD\,.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow MP \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow MP \bot AN\,.\) Suy ra \({S_{AMNP}} = \dfrac{1}{2}MP.AN\).
Trong tam giác vuông \(SAC,\) ta có \(AN = \dfrac{{AS.AC}}{{\sqrt {A{S^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\,.\)
Trong tam giác vuông \(SAB,\) ta có \(SM = \dfrac{{S{A^2}}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\,.\)
Vì \(MP\parallel BD \Rightarrow \dfrac{{MP}}{{BD}} = \dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow MP = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\,.\)
Vậy \({S_{AMNP}} = \dfrac{1}{2}MP.AN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{{a^2}}}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\,.\)
Nhận xét: Để ý kĩ hơn ta có thể thấy ngay, \(MP\) là đường trung bình của \(\Delta SBD,\) khi đó ta có thể dễ dàng tính được \(MP = \dfrac{1}{2}BD\).