Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 
, cho hai điểm 
, 
và hai đường thẳng có phương trình 
: 
, 
: 
. Chứng minh 
và 
luôn cắt nhau tại 
. Tìm 
sao cho 
lớn nhất.
-
-
-
-
Đáp án đúng:
Xét hệ phương trình: 
.
Ta có 
,.
Vậy 
và 
luôn cắt nhau.
Ta có 
, 
và 
. Suy ra tam giác 
vuông tại 
nên P nằm trên đường tròn đường kính AB.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 
. Suy ra 
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi PA = PB.
Với 
suy ra P là trung điểm của cung AB trong đường tròn đường kính AB. Đường tròn đường kính AB có phương trình : 
. Gọi 
là trung trực của đoạn AB, suy ra 
qua tâm 
và có vectơ pháp tuyến 
nên có phương trình 
Khi đó tọa độ điểm P thỏa mãn hệ 
hoặc P(0;-1).
Với P(2;1), thay vào 
ta được m = 1; Với P (0,-1), thay vào 
ta được m = 2.
Vậy PA + PB lớn nhất khi m = 1 hoặc m = 2.
Số bình luận về đáp án: 0
.
Ta có
,.
Vậy
và luôn cắt nhau.
Ta có
, và . Suy ra tam giác vuông tại nên P nằm trên đường tròn đường kính AB.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
. Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi PA = PB.
Với
suy ra P là trung điểm của cung AB trong đường tròn đường kính AB. Đường tròn đường kính AB có phương trình : . Gọi là trung trực của đoạn AB, suy ra qua tâm và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình
Khi đó tọa độ điểm P thỏa mãn hệ
hoặc P(0;-1).
Với P(2;1), thay vào
ta được m = 1; Với P (0,-1), thay vào ta được m = 2.
Vậy PA + PB lớn nhất khi m = 1 hoặc m = 2.