Biết rằng hàm số $y = a\sin 2x + b\cos 2x - x$ $\left( {0 < x < \pi } \right)$ đạt cực trị tại các điểm $x = \frac{\pi }?
Biết rằng hàm số \(y = a\sin 2x + b\cos 2x - x\) \(\left( {0 < x < \pi } \right)\) đạt cực trị tại các điểm \(x = \dfrac{\pi }{6}\) và \(x = \dfrac{\pi }{2}.\) Tính giá trị của biểu thức \(T = a - b.\)
A. \(\sqrt 3 - 1.\)
B. \(\sqrt 3 + 1.\)
C. \(\dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}.\)
D. \(\dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{2}.\)
Đáp án C
Đáp án CTa có \(y' = 2a\cos 2x - 2b\sin 2x - 1\).
Chú ý \(0 < x < \pi \) nên hàm số đạt cực trị tại \(x = \dfrac{\pi }{6};x = \dfrac{\pi }{2}\) khi
\(\left\{ \begin{array}{l} y'\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = 0\\ y'\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a\cos \dfrac{\pi }{3} - 2b\sin \dfrac{\pi }{3} - 1 = 0\\ 2a\cos \pi - 2b\sin \pi - 1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \dfrac{1}{2}\\ b = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \Rightarrow T = a - b = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}\).
