Đáp án D

Đặt \({\log _3}x = {\log _6}y = {\log _2}\left( {x + y} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = {3^t}\\ y = {6^t}\\ x + y = {2^t} \end{array} \right.\)
Suy ra \({3^t} + {6^t} = {2^t} \Leftrightarrow g\left( t \right) = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} + {3^t} = 1\;\left( * \right)\)
Xét hàm số \(g\left( t \right)\) trên \(\mathbb{R}\) ta có: \(g'\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}\ln \dfrac{3}{2}+{{3}^{t}}\ln 3 > 0\ \left( \forall t\in \mathbb{R} \right)\)
Do đó hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) Ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( t \right)=g\left( -1 \right)\Leftrightarrow t=-1\)
Suy ra \(x=\dfrac{1}{3},\ y=\dfrac{1}{6}\Rightarrow P=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}=45.\) Chọn D.