Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $AB = a,\,AC = a\sqrt 3 $. Tam giác $SBC$ đều và nằm tron?
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) , \(AB = a,\,AC = a\sqrt 3 \). Tam giác \(SBC\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách \(d\) từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
A. \(d = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).
B. \(d = a\).
C. \(d = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).
D. \(d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án C
Chọn C
Gọi \(I\) là trung điểm BC.
Ta có \(BC = 2a;\,SI = a\sqrt 3 \) ( do tam giác \(SBC\) đều).
Vì tam giác \(SBC\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \( \Rightarrow SI\) \( \bot \left( {ACB} \right)\)
Kẻ \(IM \bot AC\) tại M.
Kẻ \(IH \bot SM\) tại \(H\).
Ta có: \(AC \bot IM;\,AC \bot SI \Rightarrow AC \bot \left( {SIM} \right) \Rightarrow AC \bot IH\).
Mà \(IH \bot SM \Rightarrow IH \bot \left( {SAC} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {I,\left( {SAC} \right)} \right) = IH\).
Ta có: \(\dfrac{1}{{I{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{I^2}}} + \dfrac{1}{{I{M^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{4}}} \Rightarrow IH = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).
Mà \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {I,\left( {SAC} \right)} \right) = 2.\dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).
