Đáp án B

Chọn B

Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\) \( \Rightarrow MN\,//\,SC \Rightarrow SC\,//\,\left( {MND} \right)\).
\(O = BD \cap AC\); \(G = ND \cap AC\); \(K = SO \cap MD\); \(E = GK \cap SA\).
Trong \(\Delta SBD\), có \(SO\) và \(BM\) là trung tuyến \( \Rightarrow \,K\) là trọng tâm \( \Rightarrow \,\dfrac{{OK}}{{OS}} = \dfrac{1}{3}\);
Trong \(\Delta BCD\), có \(CO\) và \(DN\) là trung tuyến \( \Rightarrow \,G\) là trọng tâm \( \Rightarrow \,\dfrac{{OG}}{{OC}} = \dfrac{1}{3}\);
Do \(\dfrac{{OK}}{{OS}} = \,\dfrac{{OG}}{{OC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow GK\,//\,SC \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AS}} = \dfrac{{AG}}{{AC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow AE = \dfrac{2}{3}AS = 2a\).
Trong đáy \(ABCD\) lấy điểm \(F \in ND\) và \(AF \bot ND\).
Ta có \(\dfrac{1}{2}AF.ND = {S_{\Delta AND}} \Rightarrow AF = \dfrac{{2.{S_{\Delta AND}}}}{{ND}} = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Lấy điểm \(H\) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l} AH \bot EF\\ H \in EF \end{array} \right.\). Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l} DN \bot AF\\ DN \bot AE \end{array} \right. \Rightarrow DN \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow DN \bot AH\).
\(\left\{ \begin{array}{l} AH \bot EF\\ AH \bot DN \end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {MND} \right) \Rightarrow d\left( {A\,,\,\left( {MND} \right)} \right) = AH\).
Mà \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{E^2}}} + \dfrac{1}{{A{F^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{5}{{4{a^2}}} = \dfrac{6}{{4{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Ta thấy \(SC\,//\,\left( {MND} \right)\) (do \(MN\,//\,SC\)) và \(\dfrac{{GC}}{{GA}} = \dfrac{1}{2}\).
Suy ra, \(d\left( {SC\,,\,DM} \right) = d\left( {SC\,,\,\left( {MND} \right)} \right) = d\left( {C\,,\,\left( {MND} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A\,,\,\left( {MND} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).