Cho hình chóp $S.ABC,M$ và $N$ là các điểm thuộc các cạnh $SA$ và $SB$ sao cho $MA = 2SM,SN = 2NB,\left( \alpha \right)$?

Cho hình chóp $S.ABC,M$ và $N$ là các điểm thuộc các cạnh $SA$ và $SB$ sao cho $MA = 2SM,SN = 2NB,\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $MN$ và song song với $SC.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chia khối chóp $S.ABC$ thành hai khối đa diện $\left( {{H_1}} \right)$ và $\left( {{H_2}} \right)$ với $\left( {{H_1}} \right)$ là khối đa diện chứa điểm $S,\left( {{H_2}} \right)$ là khối đa diện chứa điểm $A.$ Gọi ${V_1}$ và ${V_2}$ lần lượt là thể tích của $\left( {{H_1}} \right)$ và $\left( {{H_2}} \right).$ Tính thể tích $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.$

A. $\dfrac{4}{3}.$

B. $\dfrac{5}{4}.$

C. $\dfrac{4}{5}.$

D. $\dfrac{3}{4}.$

Đáp án C

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa MN và song song với SC, nó cắt BC tại P và cắt AC tại Q.
Chú ý NP song song với SC nên $\dfrac{{BP}}{{BC}} = \dfrac{{BN}}{{BS}} = \dfrac{1}{3}$. Khi đó MN, PQ, AB đồng quy tại E.
Sử dụng định lý Melelaus cho tam giác SAB: $\dfrac{{MS}}{{MA}}.\dfrac{{EA}}{{EB}}.\dfrac{{NB}}{{NS}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{EA}}{{EB}}.\dfrac{1}{2} = 1 \Rightarrow EA = 4EB$
Tiếp tục sử dụng định lý Melelaus cho tam giác ABC: $\dfrac{{QC}}{{QA}}.\dfrac{{EA}}{{EB}}.\dfrac{{PB}}{{PC}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{QC}}{{QA}}.4.\dfrac{1}{2} = 1 \Rightarrow \dfrac{{QC}}{{QA}} = \dfrac{1}{3}$
Sử dụng tỉ số thể tích ta có
$\begin{array}{l} \dfrac{{{V_{M.QEA}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{AM}}{{SA}}.\dfrac{{{S_{AQE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{AQ.EA}}{{CA.AB}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{3} = \dfrac{{16}}{{27}}\\ \dfrac{{{V_{N.PSE}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{BN}}{{BS}}.\dfrac{{{S_{BPE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{BE.BP}}{{BA.BC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{{27}} \end{array}$
Như vậy
$V\left( {{H_2}} \right) = {V_{M.AEQ}} - {V_{N.BEP}} = \dfrac{{16}}{{27}}V - \dfrac{1}{{27}}V = \dfrac{{15}}{{27}}V \Rightarrow V\left( {{H_1}} \right) = V - \dfrac{{15}}{{27}}V = \dfrac{{12}}{{27}}V \Rightarrow \dfrac{{V\left( {{H_1}} \right)}}{{V\left( {{H_2}} \right)}} = \dfrac{4}{5}$.