Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 1,AD = 2\sqrt 2 ,AA' = \sqrt 3 $. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đ?
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 1,AD = 2\sqrt 2 ,AA' = \sqrt 3 \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đã cho bằng
A. \(\dfrac{9}{4}\pi \).
B. \(3\pi \).
C. \(19\pi \).
D. \(12\pi \).
Đáp án D
D.
Gọi \(O\), \(O'\) lần lượt là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO'\).
Suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) với bán kính \(R = IA = \dfrac{1}{2}AC' = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{C^2} + A{{A'}^2}} \)\( = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2} + A{{A'}^2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {1 + 8 + 3} = \sqrt 3 \). Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\)\( = 12\pi \).
