Cho hình nón có chiều cao bằng $2\sqrt 5 $. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, thiết diện thu được là tam gi?
Cho hình nón có chiều cao bằng \(2\sqrt 5 \). Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, thiết diện thu được là tam giác đều có diện tích bằng \(9\sqrt 3 \). Thể tích của khối nón đã cho bằng
A. \(\dfrac{{32\sqrt 5 \pi }}{3}\).
B. \(96\pi \).
C. \(32\sqrt 5 \pi \).
D. \(32\pi \).
Đáp án A
Chọn A.
Ta có \(h = 2\sqrt 5 \)
Vì cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, thiết diện thu được là tam giác đều nên diện tích của tam giác đó là \(\dfrac{1}{2}l.l\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{l^2}\).
Vì thiết diện thu được là tam giác đều có diện tích bằng \(9\sqrt 3 \) nên \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{l^2} = 9\sqrt 3 \Rightarrow {l^2} = 36 \Rightarrow l = 6\)
Ta có \({r^2} = {l^2} - {h^2} = 36 - 20 = 16 \Rightarrow r = 4\).
Khi đó \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi 16.2\sqrt 5 = \dfrac{{32\sqrt 5 \pi }}{3}\). Vậy thể tích của khối nón đã cho bằng \(\dfrac{{32\sqrt 5 \pi }}{3}\).
