Cho hình nón có chiều cao bằng 3. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một th?
Cho hình nón có chiều cao bằng 3. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều, góc giữa trục của hình nón và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \({45^0}.\) Thể tích của khối nón đã cho bằng
A. \(45\pi.\)
B. \(15\pi.\)
C. \(15\sqrt {25} \pi.\)
D. \(5\sqrt {24} \pi.\)
Đáp án B
Chọn B
Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tam giác đều \(SAB,\,I\) là tâm đáy
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow SM \bot AB\)
Trong \(\left( {SIM} \right)\) kẻ \(IH \bot SM\) tại \(H.\) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} IH \bot SM\\ IH \bot AB\left( {AB \bot \left( {SIM} \right)} \right) \end{array} \right. \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right)\)
Do đó:\(\widehat {\left( {SI,\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI,SH} \right)} = \widehat {\left( {SI,SM} \right)} = \widehat {ISM} = 45^\circ \)
\( \Rightarrow MI = 3,\,SM = 3\sqrt 2 \)
Tam giác \(SAB\) là tam giác đều nên \(AB = 2\sqrt 6 \Rightarrow AM = \sqrt 6 \)
Tam giác \(AMI\) vuông tại \(M\) nên \(AI = R = \sqrt {\left( {\sqrt 6 } \right){}^2 + {3^2}} = \sqrt {15} \)
Vậy \(V = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\sqrt {15} } \right)^2}.3 = 15\pi .\)
