Cho hình nón có chiều cao $h = 10$ và bán kính đáy $r = 5$. Xét hình trụ có một đáy nằm trên hình tròn đáy của hình nón,?
Cho hình nón có chiều cao \(h = 10\) và bán kính đáy \(r = 5\). Xét hình trụ có một đáy nằm trên hình tròn đáy của hình nón, đường tròn của mặt đáy còn lại nằm trên mặt xung quanh của hình nón sao cho thể tích khối trụ lớn nhất. Khi đó, bán kính đáy của hình trụ bằng
A. \(\dfrac{{10}}{3}\).
B. \(\dfrac{{15}}{4}\).
C. \(\dfrac{5}{3}\).
D. \(\dfrac{5}{2}\).
Đáp án A
Chọn A.
Gọi \(r',h'\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, điều kiện \(h' \in \left( {0;10} \right)\).
Theo định lý Talet, ta có \(\dfrac{{NI}}{{SH}} = \dfrac{{AI}}{{AH}} \Leftrightarrow \dfrac{{NI}}{{SH}} = \dfrac{{AH - HI}}{{AH}} \Leftrightarrow \dfrac{{h'}}{{10}} = \dfrac{{5 - r'}}{5} \Leftrightarrow h' = 10 - 2r'\).
Thể tích khối trụ là
\(V = \pi {r'^2}h' = \pi {r'^2}\left( {10 - 2r'} \right) = \pi r' \cdot r' \cdot \left( {10 - 2r'} \right) \le \pi \cdot {\left( {\dfrac{{r' + r' + 10 - 2r'}}{3}} \right)^2} = \dfrac{{100\pi }}{9}\).
Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là \(\dfrac{{100\pi }}{9}\), xảy ra khi \(r' = 10 - 2r' \Leftrightarrow r' = \dfrac{{10}}{3}\).
