Đáp án C

Chọn C

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC,\) \(M\) là giao điểm của \(EF\) và \(AC\) thì \(EF\) là đường trung bình \(\Delta AHB\) nên \(EF{\rm{//}}AH\) và \(\dfrac{{EF}}{{AH}} = \dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{{AH}}{{MF}} = \dfrac{{CH}}{{CF}} = \dfrac{2}{3}.\)
Do đó \(\dfrac{{EF}}{{MF}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{ME}}{{MF}} = \dfrac{2}{3}.\)
Gọi \(N\) là giao điểm của \(MC'\) và \(AA'\) thì \(N\) là giao điểm của \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {C'EF} \right).\)
Khi đó \(\dfrac{{MN}}{{MC'}} = \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{FH}}{{FC}} = \dfrac{1}{3}.\)
Do đó \(\dfrac{{{V_{M.EAN}}}}{{{V_{M.FCC'}}}} = \dfrac{{ME}}{{MF}}.\dfrac{{MA}}{{MC}}.\dfrac{{MN}}{{MC'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{{27}}\) nên \(\dfrac{{{V_{C'NACFE}}}}{{{V_{M.FCC'}}}} = \dfrac{{25}}{{27}}.\)
Lại có \(\dfrac{{{V_{M.FCC'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.d\left( {C',\left( {ABC} \right)} \right).{S_{CMF}}}}{{d\left( {C',\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{{S_{CMF}}}}{{{S_{ABC}}}}.\)
Mà \(\Delta CMF\) đồng dạng với \(\Delta CAH\) với tỉ số \(\dfrac{3}{2}\) nên \({S_{CMF}} = \dfrac{9}{4}{S_{ACH}} = \dfrac{9}{8}{S_{ABC}} \Rightarrow \dfrac{{{S_{CMF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{9}{8}.\)
Suy ra \(\dfrac{{{V_{M.FCC'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{{S_{CMF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{9}{8} = \dfrac{3}{8}.\)
Do đó \(\dfrac{{{V_{C'NACFE}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{{{V_{C'NACFE}}}}{{{V_{M.FCC'}}}}.\dfrac{{{V_{M.FCC'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{{25}}{{27}}.\dfrac{3}{8} = \dfrac{{25}}{{72}}.\) Vậy \({V_{C'NACFE}} = \dfrac{{25}}{{72}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{25}}{{72}}.\)