Đáp án A

Điều kiện \(x > 1.\)
Khi đó phương trình \({\log _3}\left( {2x + 1} \right) - {\log _3}\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _3}\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 1 = {\log _3}3 \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 3\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 1\\ 2x + 1 = 3\left( {x - 1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4.\) Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \(x = 4.\) Chọn A.