Trong hệ tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có phương trình đường thẳng $BC:x + 7y - 13 = 0.$ Các chân đường cao kẻ từ $?
Trong hệ tọa độ \(Oxy\) , cho tam giác \(ABC\) có phương trình đường thẳng \(BC:x + 7y - 13 = 0.\) Các chân đường cao kẻ từ \(B,\,C\) lần lượt là\(E\left( {2;\,5} \right),F\left( {0;\,4} \right)\) . Biết tọa độ đỉnh \(A\) là \(A\left( {a;b} \right).\)Khi đó:
A. \(a - b = 5.\)
B. \(2a + b = 6.\)
C. \(a + 2b = 6.\)
D. \(b - a = 5.\)
Đáp án D
HD:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) khi đó \(IE = IF = IB = IC = \dfrac{1}{2}BC\)
Suy ra \(I\) thuộc trung trực của \(EF\) qua trung điểm \(\left( {1;\dfrac{9}{2}} \right)\) của \(EF\) và VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {FE} = \left( {2;1} \right)\)
suy ra phương trình trung trực của \(EF\) : \(2x + y - \dfrac{{13}}{2}\;\left( d \right) \Rightarrow I = d \cap BC = \left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\)
Gọi \(B\left( {13 - 7t;t} \right)\) khi đó \(IB = IF = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow {\left( {13 - 7t - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {t - \dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{2}{\left( {2t - 3} \right)^2} = \dfrac{{25}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right.\)
Với \(t = 1 \Rightarrow B\left( {6;1} \right);C\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BF:\;x + y - 7 = 0\\CF:\;2x - y + 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;6} \right) \Rightarrow b - a = 5.\)
Với \(t = 2 \Rightarrow B\left( { - 1;2} \right);C\left( {6;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BF:\;x - y + 3 = 0\\CF:\;x + 2y - 8 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{{11}}{3}} \right).\)
Chọn D.
